Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

1. Отыскать вторую производную функции.

2. Отыскать точки, в каких 2-ая производная равна нулю либо не существует.

3. Изучить символ производной слева и справа от каждой отысканной точки и прийти к выводу об интервалах неровности и точках перегиба.

Пример

Задание. Отыскать интервалы неровности/вогнутости функции

Решение. Найдем вторую производную данной функции:

Находим точки, в каких Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость 2-ая производная равна нулю, для этого решаем уравнение :

Исследуем символ 2-ой производной слева и справа от приобретенной точки:

Потому что на промежутке 2-ая производная , то на этом промежутке функция выпукла; в силу того, что на промежутке 2-ая производная - функция вогнута. Потому что при переходе через точку 2-ая Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость производная сменила символ, то эта точка является точкой перегиба графика функции.

Ответ. Точка - точка перегиба графика функции.

На промежутке функция выпукла, на промежутке функция вогнута.

Асимптоты графика функции

Определение

Ровная именуется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений либо равно либо .

Замечание. Ровная не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость в точке . Потому вертикальные асимптоты следует находить в точках разрыва функции.

Определение

Ровная именуется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений либо равно .

Определение

Ровная именуется наклонной асимптотой графика функции , если

Аксиома (критериях существования наклонной асимптоты)

Если для функции есть пределы и , то функция имеет наклонную асимптоту Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость при .

Замечание

Если при нахождении горизонтальной асимптоты выходит, что , то функция может иметь наклонную асимптоту.

Замечание

Кривая может пересекать свою асимптоту, при этом не один раз.

Пример

Задание. Отыскать асимптоты графика функции

Решение. Область определения функции:

а) вертикальные асимптоты: ровная - вертикальная асимптота, потому что

б) горизонтальные асимптоты: находим предел функции на бесконечности:

другими словами Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость, горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные асимптоты :

Таким макаром, наклонная асимптота: .

Ответ. Вертикальная асимптота - ровная .

Наклонная асимптота - ровная .

Исследование функции и построение ее графика

При построении графика функции нужно провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет последующую структуру:

1. Область определения и область Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость допустимых значений функции.

2. Четность, нечетность функции.

3. Точки скрещения с осями (если это может быть)

4. Асимптоты функции.

5. Экстремумы и интервалы монотонности.

6. Точки перегиба и промежутки неровности, вогнутости.

7. Сводная таблица.

Замечание

Рекомендуется строить график сразу с исследованием функции, нанося на координатную плоскость информацию по окончании каждого пт исследования.

Пример

Задание. Изучить функцию и Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость выстроить ее график.

Решение. 1) Область определения функции.

2) Четность, нечетность.

Функция вида.

3) Точки скрещения с осями.

а) с осью :

другими словами точки

б) с осью : в данной точке функция неопределенна.

4) Асимптоты.

а) вертикальные: прямые и - вертикальные асимптоты.

б) горизонтальные асимптоты:

другими словами ровная - горизонтальная асимптота.

в) наклонные асимптоты :

Таким макаром, наклонных Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость асимптот нет.

5) Критичные точки функции, интервалы возрастания, убывания.

Найдем точки, в каких 1-ая производная равна нулю либо не существует: для хоть какого из области определения функции; не существует при и .

Таким макаром, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.

6) Точки перегиба, интервалы неровности, вогнутости.

Найдем точки Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость, в каких 2-ая производная равна нулю либо не существует: ; при и 2-ая производная не существует.

Таким макаром, на промежутках и функция вогнута, а на промежутках и - выпукла. Потому что при переходе через точку 2-ая производная поменяла символ, то эта точка является точкой перегиба.

7) Набросок графика.


shema-21-kvantovo-polevaya-kartina-mira-xxv.html
shema-3-fibroznij-skelet-serdca.html
shema-3-organizacionnaya-struktura-razrabotki-strategicheskogo-plana-primernaya-metodika-ocenki-socialnogo-i-ekonomicheskogo.html